熱傳導(dǎo)方程不僅揭示了鍛件在時間上非穩(wěn)態(tài)性和空間上非均勻性之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且能對鍛件溫度場進(jìn)行普遍描述。然而對熱傳導(dǎo)方程通解的求取，必須先要明確熱傳導(dǎo)方程的單值性條件，才能進(jìn)一步確定一個特定的溫度場。鍛造過程中的單值性條件有：初始條件和邊界條件。

(1)初始條件

熱態(tài)鍛件在未受鍛造加工時，不受內(nèi)部熱能影響。并受外界環(huán)境的影響時間也是極短，因此，在初始時刻 t=0，鍛件的溫度仍保持均勻分布。通過精密的測溫系統(tǒng)

求得鍛件初始溫度，即初始條件：

其中：T(x,y,z,t)為鍛件溫度場；T0為鍛件初始溫度場。

(2)邊界條件

熱傳導(dǎo)的過程中常用的邊界條件可以分為三類：狄利科利條件、紐曼條件、Robin條件。對于三類邊界的具體表述如下：

狄利科利條件是確定特定邊界 M 上的溫度和溫度隨時間變化規(guī)律，其表達(dá)式為：

其中：TM為邊界上的溫度。

紐曼條件是確定了特定邊界M 上的熱流密度和溫度隨時間的變化規(guī)律。其表達(dá)式為：

其中：n 為邊界 M 外法線方向。

Robin 條件是在確定了物體和外界換熱系數(shù)前提下，將物體邊界M處的溫度和其換熱數(shù)進(jìn)行線性化的連接。其表達(dá)式為：

其中：TW為外界溫度。

在鍛造過程中，熱態(tài)鍛件主要受外界環(huán)境和鍛造加工作用的影響。由于鍛件尺寸變化，鍛件的形狀、表面積也在不斷地變化，并影響鍛件表面的熱交換系數(shù)。因此，結(jié)合鍛件的尺寸變化，需要對鍛件的表面熱傳導(dǎo)系數(shù)進(jìn)行修正。本文以鍛壓過程中柱類鍛件為例進(jìn)行研究，在相鄰單位時間內(nèi)的熱流量是相差無幾的，即 Qτ ≈ Qτ+1。

因此，可得到如下關(guān)系式：

其中：?τ為在τ時刻下鍛件與其外界環(huán)境的交換熱傳導(dǎo)系數(shù)；max Rτ為在τ時刻下鍛件徑向測量尺寸的最大值；min Rτ 為在τ時刻下鍛件徑向測量尺寸的最小值；Hτ為τ時刻下的鍛件軸向測量尺寸。

結(jié)合上述的修正熱傳導(dǎo)系數(shù)，將 Robin 條件與鍛造過程測量的溫度、尺寸信息相結(jié)合，進(jìn)而可確定鍛造過程中的熱傳導(dǎo)方程的邊界條件。在鍛造過程中，鍛件受外界環(huán)境影響作用時的徑向邊界條件為：

其中：λm為鍛件的導(dǎo)熱系數(shù)；Rτ為實(shí)時測量的鍛件徑向尺寸；?1 為受外界環(huán)境影響對流換熱系數(shù)；TRτ為鍛件徑向表面的溫度；Tw為環(huán)境溫度。可將方程式(2-7)與在特定時刻τ時鍛件測量溫度相結(jié)合，進(jìn)一步進(jìn)簡化為方程式(2-8)：

其中：T  ′為鍛件的溫度；?T'1τ為以外界環(huán)境為參考標(biāo)準(zhǔn)時的測量溫度；κ1為外界換環(huán)境下修正的熱交換系數(shù)和鍛件導(dǎo)熱系數(shù)的比值。由于在鍛造過程中鍛件的上下端面與鍛造砧子接觸，鍛造時接觸的換熱系數(shù)與以上在外界環(huán)境中的換熱系數(shù)是有所有所不同。因此，根據(jù)以上鍛件受外界環(huán)境影響作用時的邊界條件(2-7)的求取方法，可以獲得在鍛造過程中的鍛件上下端面邊界條件：

其中：?T'2?τ為鍛件端面的溫度；κ2為與砧子接觸時修正的熱交換系數(shù)與鍛件導(dǎo)熱系數(shù)的比值。

在熱態(tài)鍛件成形時，隨著鍛件幾何形狀和尺寸的不斷變化，使得鍛件與外部環(huán)境接觸的表面積也在不斷地變化。因此實(shí)時地結(jié)合鍛件的測量尺寸，通過修正熱交換系數(shù)的方法，將鍛件尺寸變化形狀因素對鍛件溫度的影響轉(zhuǎn)化為修正熱交換系數(shù)的方式對其進(jìn)行補(bǔ)償，更加進(jìn)一步體現(xiàn)了鍛件尺寸變化對鍛件溫度場研究重要意義。

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